Question

如圖1，⊙O₁和⊙O₂內切于點P，⊙O₂的弦BE與⊙O₁相切于C，PB交⊙O₁于D，PC的延長線交⊙O₂于A，連接AB，CD，PE．
（1）求證：①∠BPA=∠EPA；②

AB

AC

=

BC

BD

；
（2）若⊙O₁的切線BE經過⊙O₂的圓心，⊙O₁、⊙O₂的半徑分別是r、R，其中R≥2r，如圖2，求證：PC•AC是定值．

Answer 1

分析：（1）①過點P作兩圓公切線MN．根據弦切角定理，發現平行線CD∥AB．再結合平行線的性質和弦切角定理進一步證明∠ABC=∠BCD=∠BPA，根據圓周角定理的推論得到∠ABC=∠EPA，從而證明結論；
②首先根據兩個角對應相等證明△ABC∽△APB，得到

AB

BC

=

PA

PB

；再根據CD∥AB，得到

PA

PB

=

AC

BD

，從而再根據比例的性質進行變形即可證明結論；
（2）連接O₁C，PO₂．根據相交弦定理，得PC•AC=EC•BC，只需求得EC、BC的長．則關鍵是求得CO₂的長，根據切線的性質發現Rt△CO₁O₂，根據兩圓內切，則圓心距等于兩圓的半徑之差，從而根據勾股定理求得CO₂的長，此題則迎刃而解．

解答：證明：（1）①過點P作兩圓公切線MN．
則∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O₁的切線，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴

AB

PA

=

BC

PB

，
∴

AB

BC

=

PA

PB

．
∵CD∥AB，
∴

PA

PB

=

AC

BD

=

AB

BC

．
即

AB

AC

=

BC

BD

．

（2）連接O₁C，PO₁．
則PO₂經過點O₁，且O₁C=r，O₁O₂=R-r．
∵BE與⊙O₁相切，
∴O₁C⊥BE．
在Rt△CO₁O₂中，
CO₂=

O1 O 2 2 -O1C2

=

R2-2R

r，
∴BC=BO₂+CO₂=R+

R2-2Rr

．
EC=EO₂-CO₂=R-

R2-2Rr

．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．

點評：熟悉相切兩圓的性質：兩圓內切，則圓心距等于兩圓半徑之差；兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和；兩圓相切，切點一定在連心線上．
兩圓內切時，作兩圓的外公切線是常見的輔助線之一．利用弦切角定理可以把兩個圓中的有關角聯系起來．
掌握圓中的重要定理：圓周角定理及其推論、弦切角定理、相交弦定理、切線的性質定理．