Question

【題目】已知：二次函數y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側，與y軸交于點C，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的兩個根．

（1）請直接寫出點A、點B的坐標．

（2）請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標．

（3）如圖，在二次函數對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，那個說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2）y＝﹣x2+2x+6，拋物線的對稱軸為x＝2，頂點坐標為（2，8）；（3）P（2，4）．

【解析】

（1）解一元二次方程x2-4x-12=0，求出點A和點B的橫坐標，進而得到答案；
（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可，進而求出頂點坐標；
（3）作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，求出C′坐標，求出直線AC′解析式，進而求出點P的坐標．

（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x1＝﹣2，x2＝6，

即A（﹣2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y＝ax2+bx+6，

得到，

解得，

即y＝﹣x2+2x+6，

由于y＝﹣x2+2x+6＝-（x﹣2）2+8，

即拋物線的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，8）；

（3）如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設直線AC′解析式為y＝kx+n，

則，

解得，

∴y＝x+2，

當x＝2時，y＝4，

即P（2，4）．