Question

某工廠生產某品牌的護眼燈，并將護眼燈按質量分成15個等級（等級越高，燈的質量越好．如：二級產品好于一級產品）．若出售這批護眼燈，一級產品每臺可獲利潤21元，每提高一個等級每臺可多獲利潤1元，工廠每天只能生產同一個等級的護眼燈，每個等級每天生產的臺數如下表所示：

等級（x級）	一級	二級	三級	…
生產量（y臺/天）	78	76	74	…

（1）已知護眼燈每天的生產量y（臺）是等級x（級）的一次函數，請直接寫出y與x之間的函數關系式：______；
（2）若工廠將當日所生產的護眼燈全部售出，工廠應生產哪一等級的護眼燈，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于護眼燈每天的生產量y（臺）是等級x（級）的一次函數，所以可設y=kx+b，再把（1，78）、（2，76）代入，運用待定系數法即可求出y與x之間的函數關系式；
（2）設工廠生產x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．由于等級提高時，帶來每臺護眼燈利潤的提高，同時銷售量下降．而x等級時，每臺護眼燈的利潤為[21+1（x-1）]元，銷售量為y元，根據：利潤=每臺護眼燈的利潤×銷售量，列出w與x的函數關系式，再根據函數的性質即可求出最大利潤．
解答：解：（1）由題意，設y=kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，
得，
解得，
∴y與x之間的函數關系式為y=-2x+80．
故答案為y=-2x+80；

（2）設工廠生產x等級的護眼燈時，獲得的利潤為w元．
由題意，有w=[21+1（x-1）]y
=[21+1（x-1）]（-2x+80）
=-2（x-10）²+1800，
所以當x=10時，可獲得最大利潤1800元．
故若工廠將當日所生產的護眼燈全部售出，工廠應生產十級的護眼燈時，能獲得最大利潤，最大利潤是1800元．
點評：本題考查運用待定系數法求一次函數的解析式及二次函數的應用，難度中等．（2）中生產等級提高時，帶來每臺護眼燈利潤的提高，同時銷售量下降，列函數關系式時，要注意這“一增一減”，這是本題的難點．