Question

一次數學興趣活動，小明提出這樣三個問題，請你解決：
（1）把正方形ABCD與等腰Rt△PAQ如圖（a）所示重疊在一起，其中∠PAQ=90°，點Q在邊BC上，連接PD，求證：△ADP≌△ABQ．
（2）如圖（b），O為正方形ABCD對角線的交點，將一直角三角板FPQ的直角頂點F與點O重合，轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交于點M、N，求證：OM=ON．
（3）如圖（c），將（2）的“正方形”改為“矩形”，其它條件不變，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，試求y與x之間的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質，由HL即可證出△ADP≌△ABQ．
（2）由同角的余角相等得∠AON=∠BOM，證△OAN≌△OBM（ASA），得OM=ON．
（3）過F作FE⊥AB，FH⊥BC，證△FEN∽△FHM，得y=

3

2

x．

解答：證明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；

（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°-∠NOB，
∠BOM=90°-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；

（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°-∠EFM，
∠MFH=90°-∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故

FE

FH

=

FN

FM

，
即

3

2

=

y

x

，
整理得y=

3

2

x．

點評：此題考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質，同角的補角相等在解題時起著至關重要作用．