Question

已知AB是⊙O的一條弦，P是⊙O外一點，PB切⊙O于B，PA交⊙O于C，且AC=BC，PD⊥AB于D，E是AB的中點，DE=2008．則PB的值為（　�。�

• A、1004
• B、2008
• C、4016
• D、8032

Answer 1

分析：連接OB．設OE=a，EB=x，OB=m．在直角三角形OEB中，根據勾股定理列出一個等式，根據同角的余角相等得到一對角相等，再由直角相等得到三角形BOE和三角形PBD相似，又PD與OC都與AB垂直得到PD與CO平行，根據兩直線平行同位角相等得到兩對同位角相等，從而得到三角形ACE與三角形APD相似，根據相似三角形的性質得比例線段列出兩個關系式，三個關系式聯立化簡后，再利用分比合比性質變形得到一個關系式，最后由相似三角形EOB與DBP，得到關于PB的關系式，與化簡后的關系式比較即可求出PB的長．

解答：解：連接OB．
∵E是AB的中點，
∴OC⊥AB，又PD⊥AB，
∴∠PDA=∠CEA=90°，又∠A為公共角，
∴△AEC∽△ADP，
∵BP為圓O的切線，∴OB⊥BP，
∴∠OBP=90°，即∠PBD+∠OBE=90°，
又∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠PBD=∠BOE，又∠PDB=∠BEO=90°，
∴△EBO∽△BDP，
設OE=a，EB=x，OB=m．
由△AEC∽△ADP，
∴

EA

AD

=

CE

PD

，即x：（x+2008）=（m-a）：DP；
由△EBO∽△BDP，
∴

BE

PD

=

OE

DB

，即x：PD=a：（x-2008）；
∵△OBE為直角三角形，
根據勾股定理得：OB²=EB²+OE²，
即a²+x²=m²，故x²=（m-a）（m+a）．
三式聯立得：（2008-x）：（2008+x）=a：（m-a），
可化為：（2008-x）：4016=a：m．
在相似三角形EOB與DBP中，（2008-x）：BP=a：m，
所以BP=4016．
故選C．

點評：本題主要考查了切線的性質，垂徑定理，相似三角形等知識點，用相似三角形得出線段之間的比例關系是解題的關鍵．