Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．大圓的圓心是該拋物線的頂點D，小圓的圓心是該拋物線與x軸正半軸的交點B，大圓與x軸相切于點E，小圓與y軸相切于點O，兩圓外切于點F，大圓半徑R是小圓半徑r的4倍．
（1）求ac+b的值；
（2）在拋物線上找點P，使△PAO能與△EBF相似（用含r的代數式表示點P的坐標，并證明△PAO與△EBF相似）．

Answer 1

分析：（1）連接DE．設⊙B、⊙D的半徑分別為r、R，根據切線的性質得出DE⊥x軸于E，先用含r的代數式分別表示點A，B，D的坐標，再運用待定系數法求出經過A，B，D的解析式，得出a、b、c的值，代入即可求出ac+b的值；
（2）先在拋物線上找出點P，再證明△PAO與△EBF相似．為此，過點A作AP∥BD，交拋物線于點P，先運用待定系數法求出直線AP的解析式，再與（1）中求出的拋物線的解析式聯立，得到方程組，解方程組求出交點P的坐標，然后通過計算得出AO：BF=AP：EB=5，又∠PAO=∠EBF，根據兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩三角形相似得出△PAO∽△EBF．

解答：解：（1）連接DE．設⊙B、⊙D的半徑分別為r、R（r＞0，R＞0），則有DE⊥x軸于E，且R=4r．
∴ED=4r，DB=5r，∴EB=AE=3r，
∴OE=2r，AO=5r，
∴A（-5r，0），B（r，0），D（-2r，-4r）．
設y=a（x+2r）²-4r，將B（r，0）代入，
得0=a（r+2r）²-4r，
解得a=

4

9r

，
∴y=

4

9r

（x+2r）²-4r，即y=

4

9r

x²+

16

9

x-

20

9

r，
∴ac+b=

4

9r

×（-

20

9

r）+

16

9

=

64

81

；

（2）過點A作AP∥BD，交拋物線于點P，連接PO、EF，則點P即為所求．
由B（r，0），D（-2r，-4r），
運用待定系數法求出直線BD的解析式為y=

4

3

x-

4

3

r，
∵AP∥BD，∴可設直線AP的解析式為y=

4

3

x+n，
將A（-5r，0）代入，得0=

4

3

×（-5r）+n，
解得n=

20

3

r，
∴直線AP的解析式為y=

4

3

x+

20

3

r．
解方程組

y= 4 9r x2+ 16 9 x- 20r 9 y= 4 3 x+ 20r 3

，
解得

x=4r y=12r

，

x=-5r y=0

（與A點重合，舍去）．
∴P點的坐標為（4r，12r），
∵A（-5r，0），∴AP=

(4r+5r)2+(12r)2

=15r，
∵AO=5r，BF=r，EB=3r，∴AO：BF=AP：EB=5，
∵AP∥BD，∴∠PAO=∠EBF，
∴△PAO∽△EBF．

點評：本題考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，平面直角坐標系中交點坐標的求法，相似三角形的判定，本題綜合性較強，難度較大，需認真觀察圖形，正確地作出輔助線．