Question

如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，AE=

1

2

ED，延長DB到點F，使FB=

1

2

BD，連接AF．
（1）證明：△BDE∽△FDA；
（2）試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）因為∠BDE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）連接OA、OB、OC，證明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，則BE∥FA，從而AO⊥FA，得出直線AF與⊙O相切．

解答：證明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=

1

2

BD，AE=

1

2

ED，AD=AE+ED，F(xiàn)D=FB+BD
∴

BD

FD

=

ED

AD

=

2

3

，（3分）
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．（5分）

（2）直線AF與⊙O相切．（6分）
證明：連接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分）
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線，
∴

AB

=

AC

，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE，AO⊥FA，
∴直線AF與⊙O相切．

點評：本題考查相似三角形的判定和切線的判定．