Question

如圖①是一副三角板，其中∠B=∠E=90°，∠A=∠C=45°，∠F=30°，AC=EF=2．把兩個三角板ABC和DEF疊放在一起（如圖②），且使三角板DEF的直角頂點E與三角板ABC的斜邊中點O重合，DE和OC重合．現將三角板DEF繞O點順時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形BGEH是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖③）．
（1）當旋轉角度為45°時，EG和AB之間的數量關系為______．
（2）當DF經過三角板ABC的頂點B，求旋轉角α的度數．
（3）在三角板DEF繞O點旋轉的過程中，在DF上是否存在一點P，使得∠APC=90°，若存在，請利用直尺和圓規在DF上畫出這個點，并說明理由，若不存在，請說明理由．
（4）在射線EF上取一點M，過M作DF的平行線交射線ED于點N（如圖④），若直線MN上始終存在兩個點P、Q，使得∠APC=∠AQC=90°，求EM的取值范圍．

Answer 1

解：（1）AB=2EG．


（2）過點E作EP⊥DF，垂足是P，

∵∠B=90°，∠A=∠C=45°，AC=2
∴EB=1
∵∠FED=90°，∠F=30°，EF=2
∴EP=1
∴當DF經過三角板ABC的頂點B時，點P與點B重合，
此時∠PED=30°，∠CED=60°
即旋轉角α為60°；

（3）以E為圓心，EC為半徑畫圓，與DF相切于點P，P點即為所求的點．
°
∵∠FED=90°，∠F=30°，EF=2
∴EP=1
∴P點在⊙E上，
∵AC是⊙E直徑，
∴∠APC=90°；

（4）以E為圓心，EC為半徑畫圓．
當EM＜2時，直線MN和⊙E交于P、Q兩點，∠APC=∠AQC=90°．
分析：（1）旋轉角度為45°時，EG是△ABC的中位線，根據三角形的中位線定理即可得出EG和AB 之間的數量關系．
（2）當DF經過三角板ABC的頂點B，求旋轉角α的度數，即求∠ECD的度數，通過作輔助線可以得到P點與B點重合，從而得到答案．
（3）實際上是圓的切線的性質及判定的運用．
（4）題意告訴我們存在的點要在AC為直徑的圓上，所以MN就應該是圓的弦從而得到EM應小于AC的一半．
點評：本題考查了旋轉的相關知識，等腰直角三角形的性質、三角形的中位線、圓的切線的性質，圓的割線的運用等知識，難度較大，綜合性較強．