Question

在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點．
（1）如圖1，若E為AB上的一個動點，當△CGE的周長最小時，求AE的長．
（2）如圖2，若E、F為邊AB上的兩個動點，且EF=4，當四邊形CGEF的周長最小時，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，作G關于AB的對稱點M，連接CM交AB于E，那么E滿足使△CGE的周長最小．接著利用△MAE∽△MCD即可求出AE的長度；
（2）如圖，作G關于AB的對稱點M，在CD上截取CH=4，然后連接HM交AB于E，接著在EB上截取EF=4，那么E、F兩點即可滿足題目要求，最后利用相似三角形的性質即可求出AF的長．

解答：解：（1）∵E為AB上的一個動點，
∴作G關于AB的對稱點M，連接CM交AB于E，那么E滿足使△CGE的周長最小；
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點，
∴AG=AM=4，MD=12，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DCM，
∴AE：CD=MA：MD，
∴AE=

CD×MA

MD

=2；

（2）∵E為AB上的一個動點，
∴如圖，作G關于AB的對稱點M，在CD上截取CH=4，然后連接HM交AB于E，接著在EB上截取EF=4，
那么E、F兩點即可滿足使四邊形CGEF的周長最小．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點，
∴AG=AM=4，MD=12，而CH=4，
∴DH=2，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD=MA：MD，
∴AE=

HD×MA

MD

=

2

3

，
∴AF=4+

2

3

=

14

3

．

點評：此題分別考查了軸對稱-最短路程問題、勾股定理、矩形及相似三角形的性質等知識，有點難度，要求學生平時加強訓練．