Question

（2008•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．
（Ⅰ）當扇形CEF繞點C在∠ACB的內部旋轉時，如圖1，求證：MN²=AM²+BN²；
（思路點撥：考慮MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了．請你完成證明過程．）
（Ⅱ）當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置時，關系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）考慮MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了；
（Ⅱ）還將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可證明．
解答：（Ⅰ）證明：∵將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
又∵CA=CB，
∴CD=CB（2分），
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN （3分）
又∵CN=CN，
∴△CDN≌△CBN．（4分）
∴DN=BN，∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN²=DM²+DN²，即MN²=AM²+BN²．（6分）

（Ⅱ）解：關系式MN²=AM²+BN²仍然成立．（7分）
證明：∵將△ACM沿直線CE對折，得△GCM，連GN，
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，
又∵CA=CB，得CG=CB．
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN． （8分）
又∵CN=CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN²=GM²+GN²，即MN²=AM²+BN²．（9分）
點評：此題的關鍵是輔助線，讓MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，轉化為在直角三角形中解決．做幾何題加輔助線是關鍵，所以學生要盡可能多的從題中總結，加輔助線的規律．