Question

15、在18×18的方格紙上的每個方格中均填入一個彼此不相等的正整數．求證：無論哪種填法，至少有兩對相鄰小方格（有一條公共邊的兩個小方格稱為一對相鄰小方格），每對小方格中所填之數的差均不小于10．

Answer 1

分析：此題首先找出最小者和最大者之間的差，再進行分情況討論：最小者和最大者既不同行又不同列時；最小者和最大者同行或同列時；兩種情況討論得出結果．

解答：解：設a，b分別為這324個正整數中的最小者和最大者，由于這些數互不相等，所以有b-a≥323；
（1）當a和b所在的方格既不同行又不同列時；
從a所在的方格出發，可以通過一系列向相鄰格（上下或左右）的移動而達到b所在的格．
由于a和b既不同行又不同列，總存在兩條完全不同的路線（兩路線途經的方格無一相同），由a所在的方格到達b所在的方格．顯然，無論是線路甲，還是線路乙，其相鄰移動的次數均不超過17+17=34次．
若在線路甲上任何相鄰兩方格所填之數的差均小于或等于9，則323≤b-a≤34×9=306．這與事實不符．
路線乙的情況完全相同，所以，在路線甲和路線乙中各存在一對相鄰小方格，其中所填之數的差均不小于10．
（2）當a和b所在的方格同行或同列時；
與情況1類似，同樣可以找到兩條完全不同的，移動次數不大于34次的路線甲和路線乙，其中各存在一對相鄰小方格，其中所填之數的差均不小于10．

點評：此題主要利用兩者之間的最大差距與存在不同的情況分類討論進行解決問題．