Question

如圖，已知：⊙C的圓心C在x軸上，AB是⊙C的直徑，⊙C與y軸交于D、E兩點，且∠ACD=∠FDO．
（1）求證：直線FD是⊙C的切線；
（2）若OC：OA=1：2，DE=4，求直線FD的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵∠COD=90°，
∴∠ACD+∠CDO=90°，
又∵∠ACD=∠FDO，
∴∠FDO+∠CDO=90°，
即FD⊥CD；
又∵CD是⊙C的半徑，
∴FD是⊙C的切線；

（2）解：∵AB⊥DE，
∴DO=DE=2；
設OC=m，則OA=2m，CD=3m，
在Rt△OCD中，CD²=CO²+DO²，
∴m=1，
∴CD=3，CO=1；
可證：△COD∽△CDF，
∴=CF=9，
∴F（-8，0）D（0，2）；
設直線FD的解析式為y=kx+2，
∴k=，
∴y=x+2．
分析：（1）要證明FD是圓的切線，只要證明CD⊥FD即可，本題可用相等角的轉換來實現，我們發現∠F+∠FDO=90°，而∠ACD=∠FDO；
因此∠F+∠ACD=90°，即∠FDC=90°，也就證出了垂直．
（2）求FD所在直線的函數就要知道F，D兩點的坐標，已知了ED的長，那么就有了OD的長，也就知道了D點的坐標，因此求F點的坐標就是關鍵所在；直角三角形ODF中，有OD的值，只要求出∠FDO的正切值，就能求出OF的長了，我們知道∠ACD=∠FDO，那么∠FDO的正切值也就是∠ACD的正切值，直角三角形OCD中，我們發現OC，AO的和正好是半徑的長；如果設出半徑，那么就能表示出OC的長，又知道了OD的長，那么可用勾股定理求出半徑CD和OC的長，那么也就求出了∠ACD的正切值，有了這個正切值，也就能求出OF的長了；進而可得出F的坐標，然后根據F，D的坐標用待定系數法求出FD所在直線的解析式．
點評：本題考查了一次函數，三角函數，勾股定理等知識點的綜合應用，在直角三角形內求角和線段是本題解題的基本思路．