Question

如圖，扇形OAB的半徑OA=r，圓心角∠AOB=90°，點C是上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，點M在DE上，DM=2EM，過點C的直線CP交OA的延長線于點P，且∠CPO=∠CDE．
（1）試說明：DM=r；
（2）試說明：直線CP是扇形OAB所在圓的切線．

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵∠AOB=90°，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，
∴四邊形EODC是矩形，
∵點M在DE上，DM=2EM，扇形OAB的半徑OA=r，
∴OC=DE=r，
∴DM=DE=；

（2）證明：∵四邊形EODC是矩形，
∴ON=ND，
∴∠NOD=∠NDO，
∵∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，
∴∠NOD+∠CPD=90°，
∴直線CP是扇形OAB所在圓的切線．
分析：（1）連接OC，利用矩形的判定方法證明四邊形EODC是矩形，即可得出答案；
（2）由∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，得出∠NOD+∠CPD=90°，即可證出．
點評：此題主要考查了切線的判定與矩形的性質與判定，連接OC，利用矩形的對角線相等且互相平分是解決問題的關鍵．