Question

如圖，一次函數y=-x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點Q，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為C，其圖象過A、Q兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側），△ABC三內角∠A、∠B、∠C的對邊為a，b，c．若關于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實數根，且a=b；
（1）試判定△ABC的形狀；
（2）當時求此拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使S_△ABP=S_{四邊形ACBQ}？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）方程整理得（c-a）x²+2bx+（c+a）=0；
由方程有兩個相等的實數根
得△=0
即
即△ABC為等腰直角三角形．

（2）在y=-x+3中，令x=0，則y=3；令y=0，則x=3；
∴A（3，0），Q（0，3）；
設B點坐標為（x，0）；
∴AB=3-x
在Rt△AOQ中，AQ==3，
∵，
∴，
解之得：x=1，
∴B（1，0），
∵拋物線過A、B、Q三點，則有：
，
解得
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（3）假設拋物線上有點P，坐標為（x，y）；
∴S_△ABP=×AB×|y|=|y|；
S_{四邊形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ
=×2×1+×2×3=4
由S_△ABP=S_{四邊形ACBQ}，得|y|=4；
∴y=±4；
當y=4時，x²-4x+3=4；解得x=2+，x=2-；
當y=-4時，x²-4x+3=-4，△＜0，方程無解．
∴拋物線上存在點P的，其坐標為（2+，4）或（2-，4）．
分析：（1）可將題中給出的方程進行整理，已知了方程有兩個相同的實數根，那么方程的△=0，然后聯立a=b，即可判斷出三角形ABC的形狀．
（2）可先根據直線AQ的解析式求出A、Q的坐標，進而可求出線段AQ的長，根據AB、AQ的比例關系式，可求出AB的長，即可得出B點坐標，然后根據已知的A、B、Q的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出四邊形ACBQ的面積，然后根據三角形ABP和四邊形ACBQ面積相等，即可得出三角形ABP的面積，AB長為定值，可求出P點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點坐標．
點評：本題考查了等腰直角三角形的判定、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識．