Question

（2004•紹興）如圖，CB、CD是⊙O的切線，切點分別為B、D．CD的延長線與⊙O的直徑BE的延長線交于A點，連接OC，ED．
（1）探索OC與ED的位置關系，并加以證明；
（2）若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證△COD≌△COB，則∠COD=∠COB；又∠DOB是等腰△ODE的外角，則∠DOB=2∠DEB，由此可證得∠COB=∠DEB；同位角相等，則DE∥OC；
（2）Rt△ABC中，由勾股定理，易求得AB的長；然后在Rt△ADO中，用⊙O的半徑表示出OA的長，再根據勾股定理求出⊙O的半徑．則Rt△COD中，即可求得∠OCD的正切值，由（1）知：∠ADE=∠OCE，由此可求出∠ADE的正切值．
解答：解：（1）OC∥ED，（1分）
證明：連接OD，
∵BC、CD是⊙O的切線，
∴∠CBO=∠CDO=90°．
∵OD=OB，CO=CO，
∴△COB≌△COD．
∴∠COD=∠COB．
又∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO．
∵∠DEO=∠DOB，（4分）
∴∠DEO=∠COB．
∴OC∥ED．（5分）

（2）∵CD=6，AD=4，
∴CB=6，AC=10．（6分）
∴AB=8．（7分）
設⊙O的半徑為r，
在Rt△ADO中有（8-r）²=4²+r²
解得r=3．（8分）
∵OC∥ED，
∴∠ADE=∠DCO．（9分）
在Rt△COD中，tan∠DCO=，
∴tan∠ADE=．（10分）
點評：本題主要考查了切線的性質、平行線的判定、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識．