Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于D、E兩點．
（1）如果一個二次函數圖象經過B、C、D三點，求這個二次函數的解析式；
（2）設點P的坐標為（m，0）（m＞5），過點P作PQ⊥x軸交（1）中的拋物線于點Q，當以O、C、D為頂點的三角形與△PCQ相似時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理求得線段OB和OC的長，從而求得B、C兩點的坐標，利用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（2）作出圖形利用相似三角形的對應邊成比例列出有關未知數m的方程求解即可．

解答：解：（1）連接AC，
∵以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于D、E兩點．
∴AC=5、AO=3，
∴由勾股定理得：OC=OB=4
∴點B的坐標為（-4，0），點C的坐標為（4，0），點D的坐標為（0，2）．
∵對稱軸為y軸，
∴設二次函數的解析式為y=ax²+c
∴

16a+c=0 c=2

解得：

a=- 1 8 c=2

∴經過B、C、D三點的二次函數的解析式為y=-

1

8

x2+2；
（2）∵P的坐標為（m，0）（m＞5），
∴Q點的坐標為（m，-

1

8

m²+2）
∴PC=m-4 PQ=

1

8

m²-2，
∵以O、C、D為頂點的三角形與△PCQ相似，
①當△ODC∽△PCQ時，
∴

PC

OD

=

PQ

OC

即：

m-4

2

=

1 8 m2-2

4

解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）
②當△OCD∽△PCQ時，
∴

PC

OC

=

PQ

OD

即：

m-2

4

=

1 8 m2-2

2

解得：m=12或4（因m＞5，故舍去）
∴P點的坐標為：（12，0）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定及垂徑定理的應用．主要考查學生數形結合的數學思想方法．