Question

已知關于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求證：無論m取什么實數，方程總有實數根；
（2）如果方程的兩個實數根x₁、x₂滿足x₁=3x₂，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明一元二次方程根的判別式恒大于0，即可解答；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系x₁+x₂=4x₂=-2（2-m）=2m-4，以及x₁•x₂=3x²₂=3-6m即可求得m的值．
解答：解：（1）證明：∵關于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0中，△=4（2-m）²-4（3-6m）=4（m+1）²≥0，
∴無論m取什么實數，方程總有實數根．

（2）如果方程的兩個實數根x₁，x₂滿足x₁=3x₂，則x₁+x₂=4x₂=-2（2-m）=2m-4
∴x₂=-1  ①
∵x₁•x₂=3x²₂=3-6m，
∴x₂²=1-2m②，
把①代入②得m（m+4）=0，
即m=0，或m=-4．
答：實數m的值是0或-4
點評：解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關系，及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-，x₁x₂=．