Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8
（1）求證：無論a為任何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點．
（2）當x≥2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求a的取值范圍．
（3）以二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8圖象的頂點A為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點在二次函數(shù)的圖象上），請問：△AMN的面積是與a無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根的判別式進行判斷，若△＞0，則-x²+2ax-4a+8=0有兩個不相等的實數(shù)根，即
二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點，據(jù)此可求出a的取值范圍．
（2）將二次函數(shù)解析式轉化為頂點式，找到對稱軸，根據(jù)對稱軸在x=2的左側或與x=2重合得到a≤2．
（3）解法一：正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關，二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x²的圖象通過平移得到的，于是研究y=-x²的圖象與正三角形△A'M'N'的面積即可，計算出M′N′H和A′B′即可計算三角形的面積為定值；
解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，利用三角函數(shù)求出，設M（m，n），得到BM=a-m（m＜a），AB=y_A-y_B=a²-4a+8-n，計算出它們的值，利用三角形面積公式計算出面積為定值．
解答：解：（1）∵△=4a²-16a+32=4（a-2）²+16，
無論a為何實數(shù)△=4（a-2）²+16＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點．

（2）∵y=-x²+2ax-4a+8，
∴y=-（x-a）²+a²-4a+8，
∴由題意得，對稱軸在x=2的左側或與x=2重合，
故a≤2．

（3）如圖：

解法一：以二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8圖象的頂點A為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點在二次函數(shù)的圖象上），
這個正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關．
二次函數(shù)y=-x²+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x²的圖象通過平移得到的．
如圖，正三角形AMN的面積等于正三角形△A'M'N'的面積．
因此，與a的取值無關，
∵點A'，M，'N'在二次函數(shù)y=-x²的圖象上，
∴A'（0，0），M'（-m，-m²），N'（m，-m²），B'（0，-m²），B'N'=m，，
∵點N'在y=-x²的圖象上，
∴A'B'=m²，
∴，
∴m=0（舍去），
∴，
∴，A'B'=3，
∴，
∴正三角形AMN的面積是與a無關的定值，定值為．
解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，
設拋物線的對稱軸與MN交于點B，則，
設M（m，n），
∴BM=a-m（m＜a），
又AB=y_A-y_B=a²-4a+8-n
=（a²-4a+8）-（-m²+2am-4a+8）

∴，
∴，
∴，AB=3，
∴，
∴正三角形AMN的面積是與a無關的定值．
點評：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題、根的判別式、對稱軸與不等式、二次函數(shù)的平移、正三角形的性質等知識，綜合性強，思維含量高，需要同學們加強練習，方能正確解答．