Question

（1999•河南）如圖，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的半圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2，AE=1．求證：S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個根．

Answer 1

【答案】分析：此題要證明S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個根，首先需求得兩個三角形的面積，再進一步根據根與系數的關系進行證明．根據切割線定理，即可求得AB的長，從而求得圓的半徑，則可以求得三角形AOD的面積；根據勾股定理求得CD的長，再根據相似三角形的性質即可求得BH的長，從而求得三角形BCD的面積．
解答：證明：∵AD是切線，
∴AD²=AE•AB．
由AD=2，AE=1，得AB=4．
從而OD=．
∵∠ABC=90°，
∴AC²=BC²+AB²，且BC是⊙O的切線．
∵CD是⊙O的切線，
∴BC=CD．
∴（2+BC）²=BC²+4²，
解得BC=3．
∵OD⊥AD，
∴S_△AOD=AD•OD=．
作BH⊥AC于H，則Rt△AOD∽Rt△ABH．
∴，
即，
∴．
∴S_△BCD=．
而S_△AOD+S_△BCD=，
S_△AOD•S_△BCD=，
∴S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個根．
點評：此題綜合運用了切割線定理、切線長定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質、一元二次方程根與系數的關系．