Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．
（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷；
（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax²+bx+3．
把點A（1，0）、點B（-3，0）代入，得解得a=-1，b=-2
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4
∴頂點D的坐標為（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=OB²+OC²=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=DF²+CF²=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=DE²+BE²=20
∴BC²+CD²=BD²
∴△BCD為直角三角形．

解法二：過點D作DF⊥y軸于點F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD為直角三角形．

（3）①△BCD的三邊，==，又=，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；
②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3-a，=，即=，解得：a=-9，則P的坐標是（0，-9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；
③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3-b，則=，即=，解得：b=-，故P是（0，-）時，則△ACP∽△CBD一定成立；
④當P在y軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）．
則AB=1-d，當AC與CD是對應邊時，=，即=，解得：d=1-3，此時，兩個三角形不相似；
⑤當P在y軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）．
則AP=1-e，當AC與DC是對應邊時，=，即=，解得：e=-9，符合條件．
總之，符合條件的點P的坐標為：．
點評：本題是相似三角形的判定與性質，待定系數法，勾股定理以及其逆定理的綜合應用．