Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以點A為圓心，r為半徑的圓與底邊BC（包括點B和點C）有兩個公共點，那么r的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：過等腰三角形的頂點作底邊的垂線，根據“三線合一”得到垂足為底邊的中點，得到BD的長，在直角三角形ABD中，由AB與BD的長，利用勾股定理求出AD的長，然后找兩個特殊位置：一個是以點A為圓心，AD長為半徑的圓與底邊BC相切，此時圓的半徑為AD的長；一個是以點A為圓心，AB長為半徑的圓與BC邊有兩個交點，此時圓的半徑為AB的長，由兩特殊位置求出的圓的半徑，寫出滿足題意的r的取值范圍即可．
解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
過點A作AD⊥BC，交BC于點D，
∵AB=AC=5，∴點D為BC中點，即BD=CD=3，
在直角三角形ABD中，根據勾股定理得：AD=4，
則以點A為圓心，AD為半徑的圓與邊BC相切，此時圓的半徑r=4；
以點A為圓心，AB長為半徑的圓與BC邊有兩個交點，交點為點B和點C，此時圓的半徑r=5，
∴滿足題意的圓A的半徑r的范圍是4＜r≤5．
故答案為：4＜r≤5．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，這類題的解法一般是數形結合，定量分析．找出圓A與底邊BC相切與圓A剛好過底邊的兩端點時圓A半徑的長是解本題的關鍵．