Question

已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和小圓相切于點C，過點C作大圓的弦DE，使DE⊥OA，垂足為F，DE交小圓于另一點G．求證：AF•AO=DC•DG．

Answer 1

分析：連接OC，根據相交弦定理可得，AC•BC=DC•CE，又AB是小圓的切線，故OC⊥AB，根據垂徑定理，可得AC=BC，故AC²=DC•CE；又因為OC⊥AB，DE⊥OA，所以有∠AFC=∠ACO=90°，且∠CAF=∠OAC，那么△ACF∽△AOC，可得比例線段AC：AF=AO：AC，即AC²=AO•AF；于是有AO•AF=DC•CE；而DE⊥OA，利用垂徑定理，可得DF=EF，CF=FG，等量加等量和相等，可得DG=CE，等量代換可得AO•AF=DC•DG．

解答：證明：連接OC，（1分）
∵AB是小圓切線，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，（1分）
∵AB與DE相交于C，
∴CA•CB=CD•CE，（1分）
∴AC²=CD•CE，①
∵OC⊥AC，CF⊥OA，
∴△ACO∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AO

AC

，
∴AC²=AF•AO，②
∵OF⊥DE，
∴CF=GF，DF=EF，
∴DF+FG=EF+CF，
∴DG=EC，③（2分）
由①、②、③，可得AF•AO=DC•DG．

點評：本題利用了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、相交弦定理、等量代換等知識．