Question

12．如圖所示，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為AB邊上一點，連結CD，CD繞點C逆時針旋轉90度與線段CE重合，連結AE．
（1）填空：∠B=45度；∠BCD=∠ACE（在圖中找出一個與∠BCD相等的角）．
（2）求證：△BCD≌△ACE．
（3）當AB=2CE時，求證：CD垂直平分AB．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得出∠B的度數和旋轉的性質得出∠BCD=∠ACE即可；
（2）根據旋轉的性質和SAS證明三角形全等即可；
（3）根據全等三角形的判定和性質以及等腰直角三角形的判定解答即可．

解答 解：（1）∵在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠B=45°；
∵CD繞點C逆時針旋轉90度與線段CE重合，
∴∠DCE=90°，
即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE；
故答案為：45；ACE；
（2）∵CD繞點C逆時針旋轉90度與線段CE重合，
∴CD=CE，
又由（1）可知，∠BCD=∠ACE，
∵CA=CB，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ECA}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE；
（3）∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAB=90°，
設AD=a，CE=b，則AB=2CE=2b，DC=CE=b，
∴△ECD為等腰直角三角形
又△ADE為直角三角形
∴DE²=CD²+CE²=2b²，AE²=DE²-AD²=2b²-a²
又∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=AB-AD=2b-a，
∴2b²-a²=（2b-a）²
  化簡得：a²-2ab+b²=0
∴（a-b）²=0
∴a=b，
∴BD=2b-a=a=AD，
∴D為AB中點，
又∵△ABC為等腰直角三角形．
∴CD垂直平分AB．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，證明△ACE≌△BCD是解決問題的關鍵．