Question

（2006•瀘州）如圖，已知二次函數y=（1-m）x²+4x-3的圖象與x軸交于點A和B，與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）若點A的坐標為（1，0），求二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使以P、O、B為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令拋物線的解析式中x=0，即可得出C的坐標．
（2）將A點坐標代入拋物線中進行求解即可．
（3）可先根據（2）的拋物線求出B點的坐標，即可求得OB的長．所求的兩三角形中，已知了∠POB=∠AOC=90°，因此只需根據兩組直角邊對應成比例求出OP的長即可．（由于兩相似三角形的對應邊不確定，要分類進行求解，方法一致．）
解答：解：（1）點C的坐標為（0，-3）．

（2）∵二次函數過點A（1，0），得m=2，
即所求二次函數的解析式為y=-x²+4x-3．

（3）假設存在這樣的點P（如圖所示），
設點P的坐標為（0，y），
當y=-x²+4x-3=0時，有x₁=1，x₂=3，
∴點B的坐標為（3，0），
即OP=|y|，OA=1，OB=3，OC=3．
①當△POB∽△AOC時，y=±1；
②當△BOP∽△AOC時，y=±9；
③當BP∥AC時，△BOP∽△AOC，這時|y|=9．
∵這時的y＜0，
∴y=-9，與②中的第二個解相同．
綜上可知，在y軸上存在點P，使點P、O、B為頂點的三角形與△AOC相似，
這樣的點有四個，分別是P₁（0，-1）、P₂（0，1）、P₃（0，-9）、P₄（0，9）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定即相似三角形的判定和性質．要注意（3）題在不確定相似三角形的對應角和對應邊的情況下要分類討論，不要漏解．