Question

（2006•余姚市）已知拋物線y=x²+bx-a²．
（1）請你選定a、b適當的值，然后寫出這條拋物線與坐標軸的三個交點，并畫出過三個交點的圓；
（2）試討論此拋物線與坐標軸交點分別是1個，2個，3個時，a、b的取值范圍，并且求出交點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）要注意選擇符合條件的a，b的值，首先要注意確定△＞0，-a²≠0，選擇合適的值即可，作圖時要注意三角形的外接圓圓心是各邊的垂直平分線的交點；
（2）若有一個交點即是與x軸無交點或與x軸的一個交點為原點，
若有兩個交點即是與x軸有一個交點，與y軸有一個交點，且不重合；或者與x軸有兩個交點且過原點，
若有三個交點即是與兩坐標軸都有交點且不重合．
解答：解：（1）∵這條拋物線與坐標軸的三個交點，
∴這條拋物線與x軸的兩個交點，
∴△=b²+4a²＞0且a²≠0，
∴設b=2，a=，
∴y=x²+2x-6，
∴這條拋物線與坐標軸的三個交點為（2，0），（-4，0），（0，-6）．
如圖：

（2）①當這條拋物線與坐標軸的有一個交點，
∴這條拋物線與坐標軸的交點是原點（0，0），
則a=0，b=0．
②當這條拋物線與坐標軸的有兩個交點時，
拋物線過原點，則此時a=0，
∴y=x²+bx，
交點坐標為（0，0），（-b，0）．
③當這條拋物線與坐標軸的有三個交點時，
這條拋物線與x軸交于兩點，且不過原點，
∴△=b²+4a²＞0，
∴a≠0，b為任意實數，
交點坐標為（，0），（0，-a²）．
點評：此題考查了二次函數與坐標軸的交點問題的判斷，解題的關鍵是對函數圖象的認識，還要注意三角形外接圓的畫法；要注意數形結合思想的應用．