Question

【題目】如圖，直線y= x﹣ 與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數y= （k＞0）圖象交于點C，D，過點A作x軸的垂線交該反比例函數圖象于點E．

（1）求點A的坐標．
（2）若AE=AC．
①求k的值．
②試判斷點E與點D是否關于原點O成中心對稱？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，得0= x﹣ ，解得：x=3．

∴點A的坐標為（3，0）

（2）

解：①過點C作CF⊥x軸于點F，如圖所示．

設AE=AC=t，點E的坐標是（3，t），

在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°．

在Rt△ACF中，∠CAF=30°，

∴CF= t，AF=ACcos30°= t，

∴點C的坐標是（3+ t， t）．

∴（3+ t）× t=3t，

解得：t1=0（舍去），t2=2 ．

∴k=3t=6 ．

②點E與點D關于原點O成中心對稱，理由如下：

設點D的坐標是（x， x﹣ ），

∴x（ x﹣ ）=6 ，解得：x1=6，x2=﹣3，

∴點D的坐標是（﹣3，﹣2 ）．

又∵點E的坐標為（3，2 ），

∴點E與點D關于原點O成中心對稱

【解析】（1）令一次函數中y=0，解關于x的一元一次方程，即可得出結論；（2）①過點C作CF⊥x軸于點F，設AE=AC=t，由此表示出點E的坐標，利用特殊角的三角形函數值，通過計算可得出點C的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征可得出關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論；
②根據點在直線上設出點D的坐標，根據反比例函數圖象上點的坐標特征可得出關于點D橫坐標的一元二次方程，解方程即可得出點D的坐標，結合①中點E的坐標即可得出結論．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、解一元二次方程以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）令一次函數中y=0求出x的值；（2）根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出一元二次方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據反比例函數圖象上點的坐標特征找出關于點的橫坐標的一元二次方程是關鍵．