Question

如圖,在平面直角坐標系中,A(-3,0)，點C在y軸的正半軸上，BC∥x軸，且BC=5,AB交y軸于點D，OD=．

（1）求出點C的坐標；
（2）過A、C、B三點的拋物線與x軸交于點E，連接BE．若動點M從點A出發沿x軸向x軸正方向運動，同時動點N從點E出發，在直線EB上作勻速運動，兩個動點的運動速度均為每秒1個單位長度，請問當運動時間t為多少秒時，△MON為直角三角形?

Answer 1

（1）（0,4）
（2）當、或時，△MON為直角三角形解析:
解：（1）∵BC∥x軸，
∴△BCD∽△AOD．
∴． ∴．
∴．
∴C點的坐標為 (0，4) ． ……………………… 1分
（2）如圖1，作BF⊥x軸于點F，則BF= 4．

由拋物線的對稱性知EF=3．
∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分
根據點N運動方向，分以下兩種情況討論：
① 點N在射線EB上．
若∠NMO=90°，如圖1，則cos∠BEF=,
∴，解得．……………… 3分
若∠NOM=90°，如圖2，則點N與點G重合．

∵cos∠BEF=，   
∴，解得． …………………… 4分
∠ONM=90°的情況不存在． …………………………… 5分
② 點N在射線EB的反向延長線上．

若∠NMO=90°，如圖3，則cos∠NEM= cos∠BEF，
∴．
∴，解得．  …………………… 6分
而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情況不存在．…… 7分
綜上，當、或時，△MON為直角三角形．