Question

（2012•惠山區一模）如圖在三角形紙片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，過點A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點B落在直線l上的點P處，折痕為MN，當點P在直線l上移動時，折痕的端點M、N也隨之移動，若限定端點M、N分別在AB、BC邊上移動，則線段AP長度的最大值與最小值的差為

7

-1

．

Answer 1

分析：關鍵在于找到兩個極端，即AP取最大或最小值時，點M或N的位置．經實驗不難發現，分別求出點M與A重合時，AP取最大值3和當點N與C重合時，AP的最小值4-

7

所以可求線段AP長度的最大值與最小值之差．

解答：解：如圖，過點C作CD⊥直線l交l于點D，
則四邊形ABCD為矩形，通過操作知，當折疊過點A時，即點M與點A重合時，AP的值最大，
此時記為點P₁，易證四邊形ABNP₁為正方形，
由于AC=5，BC=4，
故AB=

AC2-BC2

=

52-42

=3，
當折疊MN過點C時，AP的值最小，此時記為點P₂，
由于P₂C=BC=4，AB=CD=3，
故P₂D=

42-32

=

7

，
故此時AP₂=AD-P₂D=4-

7

，
線段AP長度的最大值與最小值的差為：3-（4-

7

）=3-4+

7

=

7

-1．
故答案為：

7

-1．

點評：本題考查了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應用等知識，難度稍大，學生主要缺乏動手操作習慣，單憑想象容易造成錯誤．