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已知平面直角坐標系xOy（如圖），拋物線 $數學公式$ 經過點A（-3，0）、C（0，- $數學公式$ ）．
（1）求該拋物線頂點P的坐標；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）設Q是（1）中所求出的拋物線的一個動點，點Q的橫坐標為t，當點Q在第四象限時，用含t的代數式表示△QAC的面積．

解：（1）將A（-3，0）、C（0，- $\text{[math]}$ ）．代入 $\text{[math]}$ 得
$\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
所以拋物線的表達式為y= $\text{[math]}$ x²+x- $\text{[math]}$ ．
其頂點P的坐標為（-1，-2）．…（1分）
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H．

設直線AP的表達式為y=kx+b，
將A（-3，0）、P（1，-2）代入，得
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴y=-x-3．
進而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°= $\text{[math]}$ ．
在Rt△AOG中，AG= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴AH=AG-HG= $\text{[math]}$

∴tan∠CAP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（3）設Q（t， $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ ），
由Q在第四象限，得|t|=t，| $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ |=- $\text{[math]}$ t²-t+ $\text{[math]}$ ）．
聯結OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC= $\text{[math]}$ ×|-3|×|- $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，S_△QOC= $\text{[math]}$ ×|- $\text{[math]}$ |×t= $\text{[math]}$ t，
S_△AOQ= $\text{[math]}$ ×|-3|×| $\text{[math]}$ t²+t- $\text{[math]}$ |=- $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
∴S_△QAC= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t-（- $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ）=|=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t．
分析：（1）將已知點的坐標代入到給定的函數的解析式中求解即可；
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直線AP的解析式，然后表示出有關線段長，從而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題目，利用一般式求二次函數解析式及解直角三角形是考查的重點內容，同學們應學會應用．

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科目：初中數學 來源： 題型：

21、已知平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（2，2），B（1，-1），C（3，0）．
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