Question

【題目】如圖1，在一張ABCD的紙片中，ABCD的面積為6，DC＝3，∠BCD＝45°，點P是BD上的一動點（點P與點B，D不重合）．現將這張紙片分別沿BD，AP剪成三塊，并按圖2（注：圖2中的①，②是將圖1中的①，②翻轉背面朝上，再拼接而成的）所示放置

（1）當點P是BD的中點時，求AP的長．

（2）試探究：當點P在BD的什么位置上時，MN的長最小？請求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當AP⊥BD時，MN的長最小，

【解析】

（1）連接AC交BD于P，根據平行四邊形的性質得到PD＝PB，即點P是BD的中點，過D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根據三角形的中位線的性質得到PE＝DH，BE＝BH，根據已知條件得到DH＝2，解直角三角形即可得到結論；

（2）由題意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，當AP⊥BD時，MN的長最小，過D作DH⊥AB于H，根據勾股定理得到BD＝＝，根據三角形的面積公式得到AP＝，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）連接AC交BD于P，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴PD＝PB，即點P是BD的中點，

過D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，

∴PE∥DH，

∴PE＝DH，BE＝BH，

∵ABCD的面積為6，DC＝3，

∴DH＝2，

∴PE＝1，

∵∠BCD＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴AH＝DH＝2，

∴BH＝1，

∴HE＝BE＝，

∴AE＝，

∴AP＝＝；

（2）由題意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，

∴∠MCD+∠NCB＝45°，

∴∠MCN＝90°，

當AP⊥BD時，MN的長最小，

過D作DH⊥AB于H，

由（1）求得DH＝2，BH＝1

∴BD＝＝ ，

∵AP⊥BD，

∴S△ABD＝ABDH＝BDAP，

∴AP＝，

∴CM＝CN＝AP＝，

∴MN＝＝，

∴MN長的最小值是．