Question

已知：拋物線y=ax²+x+2．
（1）當對稱軸為x=

1

2

時，求此拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）若代數式-x²+x+2的值為正整數，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=-

1

2

，求出a的值，然后把解析式寫成頂點坐標式求出頂點坐標，
（2）若代數式-x²+x+2的值為正整數，即（1）中的二次函數y=-x²+x+2的函數值y為正整數，求出y的最大值，然后解方程，求出x的值．

解答：解：（1）∵對稱軸為x=

1

2

，∴-

b

2a

=

1

2

．
∵b=1，∴a=-1．
∴此拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
頂點坐標為(

1

2

，

9

4

）．
（2）∵代數式-x²+x+2的值為正整數，
即（1）中的二次函數y=-x²+x+2的函數值y為正整數．
由（1）知，y的最大值是

9

4

，∴符合題意的y值有：2和1．
∴當y=2時，有-x²+x+2=2．解得x₁=0或x₂=1；
當y=1時，有-x²+x+2=1．解得x1=

1+ 5

2

或x2=

1- 5

2

．
即所求的x的值為0，1，

1+ 5

2

，

1- 5

2

．

點評：本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質和最值的知識點，熟練掌握二次函數的圖象特征和函數的性質是解答本題的關鍵，本題難度一般．