Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，12），（8，6），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q從點（1，0）出發，以相同速度沿x軸正方向運動，當P點到D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）正方形邊長，頂點C的坐標；
（2）當P點在邊AB上運動時，△OPQ的面積S與運動時間t（秒）的函數圖象是如圖②所示的拋物線的一部分，求點P，Q運動速度；
（3）求在（2）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；
（4）如果點P、Q保持原速度速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，直接寫出所有符合條件的t的值．

Answer 1

解：（1）10，（14，14）；

（2）由圖象知，點P在AB上運動時間10，路程是10，所以點P，Q速度為1；

（3）作BE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，過P作PM⊥y軸于M，
由△APM∽△ABF易得OM=12-t，
S=（1+t）（12-t）=-t²+t+6，
所以t=9.5時S有最大值．
此時點P（7.6，6.3）；

（4）t=1，t=．
分析：（1）如圖，在直角三角形BFA中，根據A、B的坐標可知：AF=6，BF=8，因此AB=10，即正方形的邊長為10．易證△ABF≌△BCG，因此CG=BF=8，AF=BG=6，因此CH=14，FG=14，即C點的坐標為（14，14）；
（2）根據圖象可知：當P在AB上運動時，總共用去的時間為10s，而AB=10，因此P的速度為1，Q與P的速度相同，因此Q的速度也是1；
（3）在三角形OPQ中，OQ=1+t，關鍵是求出OQ邊上的高，可過P作PM⊥y軸于M，根據相似三角形APM和ABF可求出AM=t，因此OM=12-t，根據三角形的面積公式即可求出S，t的函數關系式．根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的t的值；
（4）本題要分四種情況進行討論：
①P在AB上，②P在BC上，③P在BC上，④P在AD上．
選兩種情況進行說明：
①P在AB上，如圖：在直角三角形APM中，根據∠APM的余弦值易得出PM=，如果OP=OQ，那么PM=OQ，即t=，解得t=1．
③P在CD上，如圖：在直角三角形PCR中，易知：CR=CP=（t-20），因此PM=RN=14-（t-20）=30-t，根據①的解題思路可知：PM=OQ，即30-t=，解得t=．
其它兩種情況求解方法同①③．
點評：本題主要考查了正方形的性質、坐標與圖形性質、三角形相似、圖形面積的求法、等腰三角形的性質以及二次函數的應用等知識點．