Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發現的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發現的是正確的．

Answer 1

分析：（1）如圖1，根據圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中應用勾股定理而證明；小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，根據旋轉的性質用SAS得到△ACE≌△ACG，從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明．

解答：（1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）選擇小穎的方法．
證明：如圖2，連接EF．
由折疊可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
ABDECF（圖2）
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，

AF=AC ∠FAE=∠CAE AE=AE

，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．              
（利用旋轉的方法證明相應給分）

點評：本題考查了角平分線的定義，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，折疊對稱的性質，全等三角形的判定和性質等知識點．注意，旋轉前后，圖形的大小和形狀都不改變．