Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有兩個不相等的實數根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．

（1）求證：n＜0；

（2）試用k的代數式表示x1；

（3）當n＝﹣3時，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．（3）k＝1．

【解析】

（1）方程有兩個不相等的實數根，則△＞0，建立關于n，k的不等式，由此即可證得結論；（2）根據根與系數的關系，把x1+x2＝k代入已知條件（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，即可用k的代數式表示x1；（3）首先由（1）知n＜﹣k2，又n＝﹣3，求出k的范圍．再把（2）中求得的關系式代入原方程，即可求出k的值．

證明：（1）∵關于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有兩個不相等的實數根，

∴△＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0，

∴n＜﹣k2．

又﹣k2≤0，

∴n＜0．

解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k，

∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0

∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0

∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0

∴x1+k＝3或x1+k＝5，

∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．

（3）∵n＜﹣k2，n＝﹣3，

∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．

原方程化為：x2﹣kx+k2﹣3＝0，

把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0，

解得k1＝1，k2＝2（不合題意），

把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，△＝﹣39＜0，所以此時k不存在．

∴k＝1．