Question

（2012•和平區模擬）圖①至圖③中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．扇形紙片OMP在AB、CD之間（包括AB、CD），扇形OMP的圓心角∠MOP=α，半徑OM=4．如圖①，扇形的半徑OM在AB上．如圖②③，將扇形紙片OMP繞點M在AB、CD之間順時針旋轉．
（Ⅰ）如圖②，當α=60°時，在旋轉過程中，點P到直線CD的最小距離是

2

，旋轉角∠BMO的最大值是

90°

；
（Ⅱ）如圖③，在扇形紙片OMP旋轉的過程中，要使點P落在直線CD上，α的最大值是

120°

．

Answer 1

分析：（I）當PM⊥AB時，點P到AB的距離最大，此時點P到CD的距離最小，求出MP的長度后即可得出點P到直線CD的最小距離；當扇形MOP在AB，CD之間旋轉到不能再轉時，弧MP與AB相切，此時旋轉角最大，也可求出最大值．
（II）點P是弧MP與CD的切點時，α最大，根據解直角三角形的知識，求出∠MOH的度數，繼而可得出α的最大值．

解答：解：（I）∵α=60°，
∴△MOP是等邊三角形，
∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB時，點P到AB的最大距離是4，
由已知得出M與P的距離為4，
從而點P到CD的最小距離為6-4=2，
當扇形MOP在AB，CD之間旋轉到不能再轉時，弧MP與AB相切，
此時旋轉角最大，∠BMO的最大值為90°；
（II）點P是弧MP與CD的切點時，α最大，即OP⊥CD，

∵OM=OP=4，
∴HM=2，
在RT△HMO中，OM=4，HM=2，
∴∠MOH=30°，
此時α=∠MOH+∠HOP=30°+90°=120°．
故答案為：2、90°；120°．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的性質定理以及平行線之間的關系和解直角三角形等知識，根據切線的性質求解是初中階段的重點題型，此題考查知識較多綜合性較強，注意認真分析．