Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點運動，F是射線CD上一動點，在點E、F運動的過程中始終保持EF=5，且CF＞BE，點P是EF的中點，連接AP．設點E運動時間為ts．
（1）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，點P的位置應該在______．
（2）當AP⊥EF時，求出此時t的值
（3）以P為圓心作⊙P，當⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時，求出此時t的值，并指出此時⊙P的半徑長．

Answer 1

解：（1）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，如圖所示，
∵P為EF的中點，
∴EP=FP，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，
，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
則此時P為AD的中點；
故答案為：AD的中點；

（2）過點E作EG⊥CD于點G，
則四邊形BCGE是矩形，
∴EG=BC=3，AB∥CD，
∴FG==4，∠AEP=∠EFG
∵AP⊥EF，
∴∠APE=∠EGF=90°，
∴△APE∽△EGF，
∴，
∴，
解得：AE=，
∴BE=AB-AE=6-=，
∴t=；

（3）如圖3，當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個全等的正方形，
∴PQ=AQ=AR=DR=AD=，
在Rt△PQE中，EP=，由勾股定理可得：EQ=2，
∴BE=BA-EQ-AQ=6-2-=，
∴t=，此時⊙P的半徑為；
如圖4，當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，
類比圖3可得，EQ=2，AQ=，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+-2=，
∴t=，此時⊙P的半徑為．
分析：（1）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，點P的位置應該在AD的中點，理由為：由P為EF的中點得到一對邊相等，再由一對直角相等及一對對頂角相等，利用AAS可得出三角形AEP與三角形DFP全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AP=DP，則此時P為AD的中點；
（2）首先過點E作EG⊥CD于點G，易證得△APE∽△EGF，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AE的長，繼而求得答案；
（3）分兩種情況考慮：當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個全等的正方形，其邊長為大正方形邊長的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長，利用勾股定理求出EQ的長，進而由BA+AQ-EQ求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑；當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，如圖4所示，同理求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑．
點評：此題考查了圓綜合題，涉及的知識有：正方形的判定與性質，切線的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想、轉化及分類討論的思想的應用．