Question

（2001•天津）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點，經過點A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M．對于如下五個結論：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM²=BE•BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結論的個數是（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：根據等腰直角三角形的性質和直徑所對的圓周角是90°，90°圓周角所對的弦是直徑逐項判斷后利用排除法求解．
解答：解：連接AM，根據等腰三角形的三線合一，得AD⊥BC，
再根據90°的圓周角所對的弦是直徑，得EF、AM是直徑，
根據對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，得四邊形AEMF是矩形，
∴①根據等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正確；
②根據矩形和等腰直角三角形的性質，得AE+AF=AB，正確；
③連接FD，可以證明△EDF是等腰直角三角形，則③中左右兩邊的比都是等腰直角三角形的直角邊和斜邊的比，正確；
④根據BM=BE，得左邊=4BE²，故需證明AB=4BE，根據已知條件它們之間不一定有這種關系，錯誤；
⑤正確．
所以①②③⑤共4個正確．故選C．
點評：此題注意熟練運用圓周角定理的推論發現矩形和等腰直角三角形．