Question

如圖1，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A作高AD，將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)D（如圖2），這時(shí)EF為折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對(duì)稱(chēng)軸EH、FG折疊，使B、C兩點(diǎn)都與點(diǎn)D重合，得到一個(gè)矩形EFGH（如圖3），我們稱(chēng)矩形EFGH為△ABC的邊BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面積為6，則折合矩形EFGH的面積為_(kāi)_______；
（2）如圖4，已知△ABC，在圖4中畫(huà)出△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=________，正方形EFGH的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

解：（1）∵沿EF折疊A與D重合，
∴△DEF≌△AEF，
∵△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對(duì)稱(chēng)軸EH、FG折疊，使B、C兩點(diǎn)都與點(diǎn)D重合，
∴△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，
∴矩形EFGH的面積是S_△DEF+S_△DEH+S_△DFG=S_△ABC=×6=3，
故答案為：3．

（2）如右圖所示：

（3）∵根據(jù)折疊得出△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，BC=2a，
∴△AEF邊EF上高和△DEF邊EF上高相等，DH=BH，DG=GC，
∴HG=BC=a，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=EH=a，
則AD=2EH=2a，
由勾股定理得：正方形EFGH的對(duì)角線是：=a，
故答案為：2a，a．
分析：（1）根據(jù)折疊得出△DEF≌△AEF，△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，求出矩形EFGH的面積是S_△DEF+S_△DEH+S_△DFG=S_△ABC，代入求出即可；
（2）根據(jù)已知和折疊性質(zhì)，結(jié)合圖2畫(huà)出即可；
（3）根據(jù)折疊性質(zhì)得出△AEF邊EF上高和△DEF邊EF上高相等，DH=BH，DG=GC，求出HG=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出EF=FG=GH=EH=a，即可求出AD，由勾股定理求出正方形EFGH的對(duì)角線即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的觀察圖形的能力和計(jì)算能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．