Question

【題目】如圖，AB為⊙O的弦，C為弦AB上一點，設AC=m，BC=n（m＞n），將弦AB繞圓心O旋轉一周，若線段BC掃過的面積為（m2﹣n2）π，則=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定線段BC過的面積：圓環的面積，作輔助圓和弦心距OD，根據已知面積列等式可得：S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，則OB2-OC2=m2-n2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得結論．

如圖，連接OB、OC，以O為圓心，OC為半徑畫圓，

則將弦AB繞圓心O旋轉一周，線段BC掃過的面積為圓環的面積，

即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，

OB2-OC2=m2-n2，

∵AC=m，BC=n（m＞n），

∴AM=m+n，

過O作OD⊥AB于D，

∴BD=AD=AB=，CD=AC-AD=m-=，

由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，

∴m2-n2=mn，

m2-mn-n2=0，

m=，

∵m＞0，n＞0，

∴m=，

∴，

故答案為：．