Question

（2013•泉州質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，2），B（1，5）．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)m=

17

4

時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短；
（2）若點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，a）、（0，a+4），則當(dāng)a=

5

4

時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短．

Answer 1

分析：（1）如圖1，AB的長(zhǎng)度一定，要使△PAB的周長(zhǎng)取最小值，需要滿足PA+PB取最小值，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定點(diǎn)P的位置，求出A'B的函數(shù)解析式后即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（-3，2），把A′向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點(diǎn)D，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到CA′=DB′=CA，則AC+BD=BB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)（AC+BD）最小，即四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短．然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=4x-17，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為
（0，

17

4

），則有a+4=

17

4

，即可求出a的值．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-3，2），
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則

-3k+b=2 k+b=5

，
解得

k= 3 4 b= 17 4

，
即直線A'B的解析式為y=

3

4

x+

17

4

，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），且點(diǎn)P在直線A′B上，
∴m=

17

4

．

（2）解：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（-3，2），把A′向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點(diǎn)D，
∴CA′=CA，
又∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，a）、（0，a+4），
∴CD=4，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此時(shí)AC+BD最小，
而CD與AB的長(zhǎng)一定，
∴此時(shí)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短．
易得直線BB′的解析式為y=-

1

4

x+

21

4

，
∵點(diǎn)D在直線BB′上，且D（0，a+4），
∴a+4=

21

4

．
解得a=

5

4

．
故答案是：

17

4

；

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題：通過(guò)對(duì)稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．