Question

如圖，將一次函數的圖象上一點A（a，b），沿豎直方向向上移動6個單位，得到點B，再沿水平方向向右移動8個單位，得到點C．以AC為直徑作圓E，設垂直于y軸的直線DT與圓E相切于點D．
（1）求證：點C在一次函數的圖象上；
（2）求三角形ADC的面積；
（3）當點D在x軸上時，求點A的坐標．

Answer 1

（1）證明：由題意知，點C的坐標為（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=x得，
y=（a+8）=a+6，
由于點A（a，b）在直線y=x上，
則b=，所以y=b+6，
故點C在一次函數y=x的圖象上．

（2）解：不妨設直線DT與⊙E切于點E下方時，如圖所示，
過點D作DH⊥AC于H，連接ED，
∵BC⊥y軸，AB⊥x軸，
∴∠ABC=90°．
∵直線DT是⊙E的切線，
∴DT⊥DE，而DT∥x軸，或與x軸重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC==10，
∴DE=AC=5，
∴，
∴DH===4，
∴S_△ADC=×10×4=20（平方單位）．

（3）解：如圖，
當點E位于x軸上方時，延長AB交x軸于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴，
設OF=x，則AF=x，OD=x+4，
∴=，
解得，x=，
∴y=x=×=2，
∴點A的坐標為（，2），
同理可得，當點E位于x軸下方時（如下圖所示），由對稱性可求點A的坐標為（-，-8）．
綜上所述，點A的坐標為A₁（，2）、A₂（-，-8）．
分析：（1）由題意知：C點是由A上移6個單位，再右移8個單位得出的點，那么根據A的坐標為（a，b），那么C點的坐標就是（a+8，b+6），因此可將C的橫坐標代入y=x中，我們發現得出的值，同A的橫坐標代入后得出的值是相同的．因此C點在直線y=x上．
（2）求三角形ADC的面積就要求出高和底，題中我們知道了AB、BC的值，在直接三角形ABC中，用勾股定理就能求出AC的長，下面求出AC邊上的高即可，過點D作DH⊥AC于H，連接ED．DH就是所求的AC邊上的高，ED⊥DT，因為DT∥x軸（或者與x軸重合），而AB⊥x軸，那么AB∥DE，∠BAC=∠DEA，這樣我們就能求出直角三角形ABC與直角三角形EDH相似，也就能得出BC、AC、DE、DH的比例關系，已經由了BC，AC，ED的長，那么DH就能求出來了，有了DH，AC那么三角形ACB的面積就可以得出．
（3）連接AF，DE后我們可發現，AF∥ED，那么就容易證得三角形OAF和OED相似，于是便可得出
點評：本題考查了一次函數與幾何知識的綜合應用，題中根據直角三角形和相似三角形得出線段的長或線段間的比例關系是解題的關鍵．