Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E．若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于______．

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，
由得
∴E（6，7）
過(guò)E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
過(guò)D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
則點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則
∴BP₁===
∴OP₁=4-=，
∴P₁（，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則
∴BP₂===
∴OP₂=-4=
∴P₂（-，0）．
綜合①、②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（，0）或P₂（-，0）．

（3）或．
如圖所示：先作△BPD的外接圓，過(guò)P作直徑PM，連接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴，
∴PD===，
DF=3，
BD==3，
∴PM==，
∴△BPD的外接圓的半徑=；
同理可求出當(dāng)P點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，△BPD的外接圓的半徑=．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據(jù)射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據(jù)拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)求解不難得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據(jù)對(duì)應(yīng)的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）以求△BP₁D的外接圓半徑為列進(jìn)行說(shuō)明：先作△BPD的外接圓，過(guò)P作直徑PM，連接DM，那么不難得出△PMD和△FBD相似，可得出，可先求出DP，DF，BD的長(zhǎng)，而PM是圓的直徑，由此可求出△BPD的外接圓的半徑．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、三角形相似以及△外接圓的半徑的求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．
（要注意區(qū)別三角形內(nèi)切圓和外接圓半徑求法的不同：三角形內(nèi)切圓半徑通常用公式法求解．而三角形外接圓半徑通常要通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解）．