Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑OA=5，弦AC的長是6．
①求DE的長；
②請直接寫出

DF

AF

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由AD是∠BAC的平分線得∠EAD=∠DAO，而∠DAO=∠ADO，則∠EAD=∠ADO，根據平行線的判定得到OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2））①過O作OH⊥AC交AC于H，根據垂徑定理得AH=CH=

1

2

AC=3，再利用勾股定理可計算出OH=4，由于∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，可得到四邊形ODEH是矩形，
根據矩形性質得DE=OH=4；
②由OD∥AE可得到△ODF∽△AEF，則

DF

AF

=

OD

AE

，然后把OD與AE的值代入即可．

解答：解：（1）連接OD，如圖，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）①過O作OH⊥AC交AC于H，如圖，
則AH=CH=

1

2

AC=3，
在Rt△AOH中，AH=3，OA=5，
∴OH=

OA2-AH2

=4，
∵∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四邊形ODEH是矩形，
∴DE=OH=4；
②∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴

DF

AF

=

OD

AE

，
而OD=5，AE=AH+HE=AH+OD=3+5=8，
∴

DF

AF

=

5

8

．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、矩形的判定與性質以及三角形相似的判定與性質．