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如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-2x+42交x軸于點A,交直線y=x于點B,拋物線y=ax2-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D,點C和點D的橫坐標分別為16和4,點P在這條拋物線上.
(1)求點C、D的縱坐標.
(2)求a、c的值.
(3)若Q為線段OB上一點,P、Q兩點的縱坐標都為5,求線段PQ的長.
(4)若Q為線段OB或線段AB上一點,PQ⊥x軸,設P、Q兩點間的距離為d(d>0),點Q的橫坐標為m,直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍.[參考公式:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點坐標為(-)].

【答案】分析:(1)點C在直線AB:y=-2x+42上,又C點的橫坐標,代入即可求出C點的縱坐標,同理可知:D點在直線OB:y=x上,又知D點的橫坐標,代入解析式即可求出D點的縱坐標.
(2)拋物線y=ax2-2x+c經過C、D兩點,列出關于a和c二元二次方程組,解出a和c即可.
(3)根據Q為線段OB上一點,P、Q兩點的縱坐標都為5,則可以求出Q點的坐標,又知P點在拋物線上,求出P點的坐標即可,P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長.
(4)根據PQ⊥x軸,可知P和Q兩點的橫坐標相同,求出拋物線的頂點坐標和B點的坐標,①當Q是線段OB上的一點時,結合圖形寫出m的范圍,②當Q是線段AB上的一點時,結合圖形寫出m的范圍即.
解答:解:(1)∵點C在直線AB:y=-2x+42上,且C點的橫坐標為16,
∴y=-2×16+42=10,即點C的縱坐標為10;
∵D點在直線OB:y=x上,且D點的橫坐標為4,
∴點D的縱坐標為4;

(2)由(1)知點C的坐標為(16,10),點D的坐標為(4,4),
∵拋物線y=ax2-2x+c經過C、D兩點,

解得:a=,c=10,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x+10;

(3)∵Q為線段OB上一點,縱坐標為5,
∴Q點的橫坐標也為5,
∵點P在拋物線上,縱坐標為5,
x2-2x+10=5,
解得x1=8+2,x2=8-2
當點P的坐標為(8+2,5),點Q的坐標為(5,5),線段PQ的長為2+3,
當點P的坐標為(8-2,5),點Q的坐標為(5,5),線段PQ的長為2-3.
所以線段PQ的長為2+3或2-3.

(4)根據題干條件:PQ⊥x軸,可知P、Q兩點的橫坐標相同,
拋物線y=x2-2x+10=(x-8)2+2的頂點坐標為(8,2),
聯立,解得點B的坐標為(14,14),
①當點Q為線段OB上時,如圖所示,當0≤m<4時,d隨m的增大而減小,
在BD段,d=x-(x2-2x+10),
即d=-x2+3x-10,對稱軸是x=12,
當x≥12時,d隨x的增大而減小.
故當12≤m≤14時,d隨m的增大而減小.
則當0≤m<4或12≤m≤14時,d隨m的增大而減小;
②當點Q為線段AB上時,如圖所示,當14≤m<16時,d隨m的增大而減小,
綜上所述,當0≤m<4或12≤m<16時,d隨m的增大而減小.
點評:本題是二次函數綜合題,難度不大,解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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