Question

【題目】如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分別為AB，AD邊上的動點，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點G，CE、CF分別交BD與點M，N，給出下列結論：①∠AFC＝∠AGE；②EF＝BE+DF；③△ECF面積的最小值為3，④若AF＝2，則BM＝MN＝DN；⑤若AF＝1，則EF＝3FG；其中所有正確結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由“SAS”可證△BEC≌△AFC，再證△EFC是等邊三角形，由外角的性質可證∠AFC=∠AGE；由點E在AB上運動，可得BE+DF≥EF；由等邊三角形的性質可得△ECF面積的EC2，則當EC⊥AB時，△ECF的最小值為3；由等邊三角形的性質和菱形的性質可求MN＝BD﹣BM﹣DN＝，由平行線分線段成比例可求EG=3FG，即可求解．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，

∵AC＝BC，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，

∴△ABC，△ACD是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，

∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，

∴△BEC≌△AFC（SAS）

∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠BCA＝60°，

∴△EFC是等邊三角形，

∴∠EFC＝60°，

∵∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+∠AFE，∠AGE＝∠AFE+∠CAD＝60°+∠AFE，

∴∠AFC＝∠AGE，故①正確；

∵BE+DF＝AF+DF＝AD，EF＝CF≤AC，

∴BE+DF≥EF（當點E與點B重合時，BE+DF＝EF），

故②不正確；

∵△ECF是等邊三角形，

∴△ECF面積的EC2，

∴當EC⊥AB時，△ECF面積有最小值，

此時，EC＝2，△ECF面積的最小值為3，故③正確；

如圖，設AC與BD的交點為O，

若AF＝2，則FD＝BE＝AE＝2，

∴點E為AB中點，點F為AD中點，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，

∴AO＝AB＝2，BO＝AO＝2，

∴BD＝4，

∵△ABC是等邊三角形，BE＝AE＝2，

∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，

∴BE＝EM＝2，BM＝2EM，

∴BM＝，

同理可得DN＝，

∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝，

∴BM＝MN＝DN，故④正確；

如圖，過點E作EH∥AD，交AC于H，

∵AF＝BE＝1，

∴AE＝3，

∵EH∥AD∥BC，

∴∠AEH＝∠ABC＝60°，∠AHE＝∠ACB＝60°，

∴△AEH是等邊三角形，

∴EH＝AE＝3，

∵AD∥EH，

∴，

∴EG＝3FG，故⑤錯誤，

故答案為：①③④