Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（

2

，a）（a＞0），半徑為

2

，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為2．
（1）試判斷y軸與圓的位置關系，并說明理由．
（2）求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據d和r的大小關系即可判斷y軸與圓的位置關系；
（2）過P點作PE⊥AB于E，連接PA并延長PA交x軸于點C．分別求出PA、AC，相加即可．

解答：解：（1）答：y軸與⊙P相切，
∵點P的坐標為(

2

，a)．
∴點P到y軸的距離為

2

，
∵⊙P的半徑為

2

，
∴點P到y軸的距離=⊙P的半徑，
∴y軸與⊙P相切；

（2）過點P作PE⊥AB于點E，
連接PA并延長PA交x軸于點C，
∵PE⊥AB，AB=2∴AE=

1

2

AB=1，
∵PA=

2

，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：PE=1，
∴PE=AE，∴∠PAE=45°，
∵函數y=x的圖象與y軸的夾角為45°，
∴y軸∥PA，∴∠PCO=90°，
∴A點的橫坐標為

2

，
∵A點在直線y=x上，∴A點的縱坐標為

2

，
∴PC=2

2

，
∴a=2

2

．

點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．注意函數y=x與x軸的夾角是45°．