Question

（2005•宿遷）已知：如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．
求證：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AC=AB，如果連接CD，那么只要證明出CD⊥AB，根據等腰三角形三線合一的特點，我們就可以得出AD=BD，由于BC是圓的直徑，那么CD⊥AB，由此可證得．
（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．
解答：證明：（1）連接CD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，
∴AD=BD．

（2）連接OD；
∵AD=BD，OB=OC，
∴OD是△BCA的中位線，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD為半徑，
∴DF是⊙O的切線．
點評：本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質等知識點．要注意的是要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．