Question

【題目】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．

（1）當AP平分∠BAC時，試說明AM=AN.

（2）若∠PAC=m，求∠AMQ的大小（用含m的式子表示）．

（3）用等式表示線段MB與PQ之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】見解析∠AMQ=45°+m.

【解析】

易證明≌,根據全等三角形的性質即可證明.

（2）QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，可得∠CAP=∠Q=m.根據等腰直角三角形的性質可得∠B=45°，根據三角形外角的性質可得∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）連接AQ，過點M作MN⊥BQ于N.證明△ACP≌△QNM，得到MN=CP=CQ.MN⊥BQ，∠B=45°，根據直角三角形的性質得到即可得到表示線段MB與PQ之間的數量關系

AP平分∠BAC,

在和中，

≌,

（2）∵QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，

∴∠CAP=∠Q=m.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）.理由如下：

連接AQ，過點M作MN⊥BQ于N.

∵AC⊥BC，QC=CP，

∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠CAP=m，

∴∠QAM=∠CAB+∠QAC=45°+m=∠AMQ，

∴AQ=QM，

∴AP=QM.

∵AP=QM，∠CAP=∠MQN，∠ACP=∠QNM，

∴△ACP≌△QNM，

∴MN=CP=CQ.

∵MN⊥BQ，∠B=45°，

∴

∴