Question

【題目】如圖1、圖2，在圓O中，，，將弦AB與弧AB所圍成的弓形包括邊界的陰影部分繞點B順時針旋轉度，點A的對應點是．

點O到線段AB的距離是______；______；點O落在陰影部分包括邊界時，的取值范圍是______；

如圖3，線段B與優弧ACB的交點是D，當時，說明點D在AO的延長線上；

當直線與圓O相切時，求的值并求此時點運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】(1)；120；；(2)見解析;(3)或;,.

【解析】

利用垂徑定理和特殊角的三角函數值解答；當與OB重疊時，取最小值；當OB繞點B順時針旋轉至與圓相交時，交點為，來求的最大值；

連接AD，利用圓周角定理進行證明；

利用切線的性質求得的值，并利用弧長公式求得相應的點運動路徑的長度．

解：如圖1，過點O作于點D，

由垂徑定理知，，
又，
，
．
又，
．
如圖2，當與OB重疊時，；

當OB繞點B順時針旋轉至與圓相交，交點為，連接，則，此時是等邊三角形，
，
的取值范圍是：．
故答案是：；120；；
連接AD，，

為直徑，
所以D在AO的延長線上；
當與相切，
，
此時
或
或
當時，
運動路徑的長度
當時，
運動路徑的長度．