Question

已知二次函數y=x²-（2m+1）x+m²的圖象與x軸交于點A（x_l，0）、B（x₂，0），其中x_l＜x₂，且

1

x1

+

1

x2

=

5

4

．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若一次函數y=x+n的圖象過點B，求其解析式；
（3）在給出的坐標系中畫出所求出的一次函數和二次函數的圖象；
（4）對任意實數a、b，若a≥b，記max{a，b}=a，例如：max{1，2}=2，max{3，3}=3，請你觀察第（3）題中的兩個圖象，如果對于任意一個實數x，它對應的一次函數的值為y₁，對應的二次函數的值為y₂，求出max{y₁，y₂}中的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析：（1）由于A、B是拋物線與x軸的交點，根據韋達定理即可得到x₁+x₂及x₁x₂的值，將已知的代數式化為x₁+x₂、x₁x₂的形式，然后代值計算即可求得m的值，由此可確定拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，可求出A、B的坐標，將B點坐標代入所求直線的解析式中即可求得n的值，由此可確定該一次函數的解析式；
（4）由于max{a，b}=a中，總是取a、b中較大的值作為max{a，b}的值，那么當max{y₁，y₂}取最小值時，y₁、y₂對應的是直線與拋物線另一個交點的縱坐標，可聯立兩個函數的解析式，即可求得這個交點的坐標，那么交點的縱坐標即為max{y₁，y₂}的最小值，交點的橫坐標即為此時x的值．

解答：解：（1）令y=0，得x²-（2m+1）x+m²=0；
因為拋物線與x軸交于不同兩點，
所以△=[-（2m+1）]²-4m²＞0，
解得m＞-

1

4

；
又因為x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²，
所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5

4

，
即

2m+1

m2

=

5

4

，
解得m=2，或m=-

2

5

（因m＞-

1

4

，故舍去）；
所以二次函數的解析式為y=x²-5x+4；

（2）二次函數y=x²-5x+4中，令y=0，得x₁=1，x₂=4，
所以B（4，0）；
因為一次函數y=x+n的圖象過點B（4，0），
所以0=4+n，
解得n=-4；
∴一次函數解析式為y=x-4；

（3）如圖；

（4）解方程組

y=x-4 y=x2-5x+4

，得一次函數與二次函數圖象的另一交點為C（2，-2）；
故對任意一個實數x，所求max{y₁，y₂}中的最小值為-2，此時x=2．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，一次函數、二次函數解析式的確定以及函數圖象交點坐標的求法；在（4）題中，只有理解了max{a，b}的取值方法才能正確的求出答案．